Sistemas lineares

Definição

Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares. Uma equação linear, por sua vez, é toda equação que pode tomar a forma:

a_nx_n + a_{n - 1}x_{n - 1} + ... + a₃x₃ + a₂x₂ + a₁x₁ = b.

Por exemplo, 5x + 2y + z = 12 ou 0,2x - 15y = 0. Na equação linear sempre aparecem coeficientes e variáveis. No primeiro exemplo, os coeficientes são 5, 2 e 1 (implícito), e as variáveis são x, y e z.

As equações lineares podem ter um grupo de valores que, substituindo as variáveis, as tornam verdadeiras. Por exemplo:

O conjunto de valores (2,1,0) torna essa equação verdadeira:

Os valores que tornam a equação linear verdadeira são chamados soluções da mesma.

O sistema linear é composto por duas ou mais equações, geralmente apresentadas no seguinte formato:

Para estas equações podem haver um conjunto de valores que só serão a solução do sistema se forem solução de cada equação. Assim, no sistema:

Percebe-se que a solução única capaz de satisfazer a ambas as equações é o par (2,4). O sistema acima é chamado de sistema linear a 2 incógnitas, e portanto admite soluções que são pares ou duplas. De modo genérico, um sistema será linear a n incógnitas (ou variáveis) e terá por solução uma n-upla (lê-se "enupla") do tipo (α₁, α₂, α₃, ... α_n). Conforme veremos mais adiante, um sistema apresenta melhores condições de ser resolvido (ou seja, de ter sua solução encontrada) caso tenha um número de equações igual ao número de incógnitas.

Classificação

Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a possibilidade de obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos. Inicialmente, encontramos dois tipos de sistemas:

• impossíveis (ou inconsistentes) são os sistemas que não têm solução, geralmente por conterem equações lineares que se contradizem. Por exemplo:
  

  

  Observar que as equações apresentam o inconveniente de apresentar a mesma soma, mas com resultados diferentes, o que leva à impossibilidade de resolver o sistema. O sistema impossível (SI) sempre resulta numa contradição. Vale ressaltar que o conjunto numérico ao qual a solução pertence é fundamental na determinação da possibilidade do sistema; por exemplo:
  

  

  É considerado impossível dentro do conjunto dos números naturais, pois não há nenhum número natural que somado em dobro 2y a outro número natural x resulte em um valor menor do que ele próprio y somado ao mesmo número x. A solução real, (14,-2), é descartada se restringirmos a solução ao conjunto de números naturais (-2 não é natural).



• possíveis (ou consistentes) são todos os sistemas que não levam a uma contradição, e portanto admitem soluções dentro do conjunto numérico ao qual estão designados. Os sistemas possíveis, por sua vez, se subdividem em dois tipos:
  • possíveis determinados (SPD) são os sistemas que possuem apenas uma solução; é possível identificar uma n-upla capaz de resolver todas as equações, única. Como exemplo, além daquele citado na seção anterior, o sistema:

  

  Permite como solução real a dupla (-6, 8).

  • possíveis indeterminados (SPI) são os sistemas que permitem infinitas soluções, porque apresentam os chamados graus de liberdade, ou seja, permitem soluções arbitrárias. Por exemplo, o sistema:

  

  Permite uma infinidade de soluções como (10,2), (12,4), (19,11), etc. Em todas elas, basta que a relação entre o primeiro elemento e o segundo seja (α,α - 8). Também é indeterminado o sistema:
  

  

  Pois apresenta mais incógnitas do que equações, sendo por isso impossível "trabalhar" as incógnitas de modo a obter valor preciso para cada uma. A solução é qualquer tripla do tipo (α, 8 - α, -2). Observar que o terceiro elemento pode ser definido, mas não os dois outros, de modo que essa é a mesma situação do sistema indeterminado do exemplo anterior.

Sistemas equivalentes

Diz-se que dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, apresentam a(s) mesma(s) n-upla(s) como solução(ões). Assim, os sistemas:

E

Ambos apresentam como solução (-1, 2). Ambos são sistemas equivalentes, portanto.

Um sistema equivalente constitui, de certo modo, apenas um desenvolvimento de outro sistema, das equações desse outro sistema devidamente transformadas. A relação de equivalência está presente desde situações mais óbvias (quando dois sistemas são em tudo iguais, exceto pela ordem das equações lineares, por exemplo) até situações mais complexas, nas quais é preciso multiplicar e somar as equações para obter as mesmas equações de outro sistema. No exemplo dado, o segundo sistema foi formado a partir de duas equações:

• 2x - y = - 4 é a subtração de 8x + y = - 6 por 6x + 2y = - 2
• 4x + 3y = 2 é a subtração de 2(6x + 2y = - 2) por 8x + y = - 6

A equivalência de sistemas é fundamental para transformação dos mesmos, e eventual resolução por método de escalonamento, que será discutido mais adiante.

Resolução de sistemas

Os sistemas lineares podem ser resolvidos (ou seja, ter a solução encontrada) através de diferentes métodos. Aqui examinar-se-á o método de escalonamento, e no próximo capítulo, o método ou regra de Cramer, que utiliza-se de matrizes.

O método do escalonamento permite resolver sistemas lineares de n equações a n incógnitas. Caso existam mais incógnitas do que equações, o método não funcionará, ou seja, ele não permite resolver sistemas com grau de liberdade maior ou igual a 1. Já os sistemas com mais equações do que incógnitas podem ser resolvidos, desde que não hajam contradições que o tornem SI.

Escalonamento

Classificado o sistema como SPD ou SPI, pode ser feito o escalonamento, que consiste basicamente em deixar as equações do sistema na forma:

Ou seja, o sistema deve ter diversas equações, cada uma com um número crescente ou decrescente de incógnitas, de modo que a última se reduza a apenas uma incógnita. Isso é feito com as transformações adequadas – sempre é possível "zerar" uma das incógnitas na equação pela soma/subtração da equação anterior que contenha essa incógnita. Exemplificando:

Inicialmente, vamos eliminar o termo composto pela variável x nas duas últimas equações, a partir da primeira. Para tanto, inicialmente multiplicamos a segunda equação por -2 e a terceira por 4. Depois, somamos as equações a primeira e obtemos:

A continuar o processo, pode-se trabalhar a segunda e a terceira equação linear para obter na terceira uma equação a uma variável, que arbitrariamente escolhemos ser z. Para tanto, vamos multiplicar a segunda equação por -3, e então somá-la à terceira equação:

A partir desta última equação, e em geral em qualquer sistema resolvido por escalonamento, é possível encontrar o valor de uma primeira variável, no caso específico:

Substituindo o valor encontrado para z na equação da segunda linha, temos:

Por fim, é possível substituir esses dois valores na primeira equação:

A solução do sistema é, portanto, (-4,1,1).

Assim resolvem-se os sistemas lineares pela técnica do escalonamento: progressivamente vão obtendo-se os valores das variáveis, até que todas as equações possam ser resolvidas. Trata-se de um método prático, que inclusive é utilizado em computadores para resolução de sistemas lineares (embora o enfoque computacional seja um tanto mais complicado e envolva matrizes).

Sistemas com grau de liberdade

É usando na estatística

Método de Gauss

O método de Gauss é um método geral de resolver sistemas de equações lineares, consistindo de uma sequência de passos simples que reduzem o sistema até que a solução se torna óbvia.

Nova Técnica de Escalonamento

Não sou macaco e muito menos gordo mas vou quebrar um galho daqueles!!

http://www.4shared.com/file/-cCM8lf6/EXTRA_Tecnica_do_escalonamento.htm

Uma matriz inversível

Uma matriz inversível

FUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2x2 inversível que satisfaz 2A = A², então o determinante de A será:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

SOLUÇÃO:

Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero.
Se 2 A = A², então os seus determinantes são iguais, ou seja: det(2 A) = det(A²)

Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.A) onde k é um número inteiro positivo, será igual a kⁿ . det(A). Para revisar, clique AQUI.

Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem:
det(2 A) = 2².det(A)

Sabemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B).

Então, det(A²) = det(A . A) = det(A).det(A)

Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A²), as expressões obtidas anteriormente, vem:
2².det(A) = det(A).det(A)
4.det(A) – [det(A)]² = 0

Colocando det(A) em evidencia, fica:
det(A).[4 – det(A)] = 0

Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não nulo e, portanto, a solução det(A) = 0 não serve. Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E.

Matrizes e Determinantes II

Matrizes e Determinantes II

1 - Definições:
1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D _ij ) de um elemento a_ij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :

Podemos escrever:
D₂₃ = menor complementar do elemento a₂₃ = 9 da matriz A . Pela definição, D₂₃ será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Da mesma forma determinaríamos D₁₁, D₁₂, D_13, D₂₁, D₂₂, D₃₁, D₃₂ e D₃₃. Faça os cálculos como exercício!
1.2 - Cofator de um elemento a_ij de uma matriz : cof ( a_ij ) = (-1 ) ^i+j . D_ij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a₂₃ = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a₂₃) = (-1)²⁺³ . D₂₃ = (-1)⁵ . 10 = - 10.
2 - Teorema de Laplace

• O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

• Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.

• Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.

• Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.

3 - Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X^-1 , tal que X . X^-1 = X^-1 . X = I_n , onde I_n é a matriz identidade de ordem n.
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:

Onde: A^-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)^T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .
Exercícios propostos
1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:
*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4
2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:

Resposta: 15
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resposta: 12
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
5 - Dadas as matrizes A = (aij)_3x4 e B = (bij)_4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento c₁₂ da matriz C = A.B é:
a)12
b) 11
c) 10
d) 9
*e) inexistente

Matrizes e Determinantes I

Matrizes e Determinantes I

Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela retangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)

Exemplos:
A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)

B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.
Notas:
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.

Exemplo:

A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (a_ij )_mxn , onde a_ij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a₂₃ = 2 , a₃₁ = 4 , a₃₃ = 3 , a_3,2 = 5 , etc.
3) Matriz Identidade de ordem n : I_n = ( a_ij )_{n x n} onde a_ij = 1 se i = j e a_ij = 0 se i ¹ j .

Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:

A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:

4) Transposta de um matriz A : é a matriz A^t obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.
Exemplo:

A matriz A^t é a matriz transposta da matriz A .

Notas:

4.1) se A = A^t , então dizemos que a matriz A é simétrica.

4.2) Se A = - A^t , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .

4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + A^t = 0 (matriz nula) .
Produto de matrizes
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.
A_mxn x B_nxq = C_mxq
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:

Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:

L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:

Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P
de ordem 3x3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A
DETERMINANTES
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .
É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

• O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
• det (A) = ½ A½ = ad - bc

Exemplo:

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen²x + cos²x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira - da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade.

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:
1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.
2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.
Exemplo:

.2				3				5
.1				7				4

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.
Principais propriedades dos determinantes
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.

P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( A^t ).

P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.

P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.

P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.

P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.

P8) determinante da matriz inversa : det( A^-1) = 1/det(A) .
Se A^-1 é a matriz inversa de A , então A . A^-1 = A^-1 . A = I_n , onde I_n é a matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A^-1) = det(I_n) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A^-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A^-1) = 1 / det(A).
Notas:

1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A^-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .

2) se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A^-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k Î R então det(k.A) = kⁿ . det A
Exemplos:

1) Qual o determinante associado à matriz?

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante:

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.
3) Calcule o determinante:

Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90
Exercícios propostos:
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde A^t  é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j .
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resposta: n = 4
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )_{3 X 3} , onde aij = i + j se i ³ j ou aij = i - j se i < j.
Qual o determinante de A?
Resposta: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:
Resposta: zero

Sistema linear

1 - Sistema linear
É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x_1, x₂, x₃, ... , x_n) do tipo:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = b₃.................................................................
.................................................................
a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ + ... + a_mnx_n = b_n
Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3
Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a_11, a₁₂, ... , a_1n, ... , a_m1, a_m2, ..., a_mn são denominados coeficientes e b_1, b₂, ... , b_n são os termos independentes. A ênupla (a ₁, a ₂ , a ₃ , ... , a _n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.
Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.
Notas:1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.Exemplo: Os sistemas lineares

S1:	2x + 3y = 12
	3x - 2y = 5

S2:	5x - 2y = 11
	6x + y = 20

são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!
2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.
3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.
4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.
5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.
6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b₁ = b₂ = b₃ = ... = b_n = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.
Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0
2 - Exercícios Resolvidos
2.1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas

S1:	x + y = 1
	x - 2y = -5

S2:	ax - by = 5
	ay - bx = -1

são equivalentes, então o valor de a² + b² é igual a:
a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10
Solução:
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S₁:
x + y = 1
x - 2y = -5
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S₂. Logo, substituindo em S₂ os valores de x e y encontrados para o sistema S₁, vem:
a(-1) - b(2) = 5 Þ - a - 2b = 5a(2) - b (-1) = -1 Þ 2 a + b = -1Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),
fica: -3b = 9 \ b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a² + b² = 1² + (-3)² = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.
2.2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.
Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)
Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.
Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.
Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:
a) 2x + 5y .- ..z = 10.............3y + 2z = ..9.....................3z = 15
b) 3x - 4y = 13.....6x - 8y = 26
c) 2x + 5y = 6....8x + 20y = 18
Resposta:
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções.

Equação linear

Sistemas Lineares I

1 - Equação linear
Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x₁, x₂, x₃, ... , x_n , como sendo a equação da forma
  a₁.x₁ + a₂.x₂ + a₃.x₃ + ... + a_n.x_n = b onde a₁, a₂, a₃, ... a_n e b são números reais ou complexos.
a₁, a₂, a₃, ... a_n são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.
Exemplos de equações lineares:

2x₁+3x₂ =7(variáveis ou incógnitas x₁ e x₂,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

-x₁ + 3x₂ -7x₃ + x₄ = 1 (variáveis x₁, x₂ , x₃ e x₄, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)

2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.
2 - A solução de uma equação linear
Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 36, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], ... , etc.
Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas.

Seja por exemplo: x + y + z = 5
As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que 
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); ... , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), ... , ou seja, existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.
De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas; ... .
Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.
Assim, se a ênupla ordenada (r₁, r₂, r₃ , ... , r_n) é solução da equação lineara₁.x₁ + a₂.x₂ + a₃.x₃ + ... + a_n.x_n = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para
x₁ = r₁, x₂ = r₂ , x₃ = r₃ , ... , x_n = r_n e poderemos escrever:
a₁.r₁ + a₂.r₂ + a₃.r₃ + ... + a_n.r_n = b.
3 - Exercícios resolvidos:
1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p?
Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.
2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado
(a , b , g ) é solução.
Solução: Podemos escrever: 5a - 2b + g = 14. Daí, tiramos: g = 14 - 5a + 2b . Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (a , b , 14 - 5a + 2b ).
Observe que arbitrando-se os valores para a e b , a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se a = 1, b = 3, teremosg = 14 - 5a + 2b = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado
(a , b , 14 - 5a + 2b ) a solução genérica.
Agora resolva estes:
1 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?
Resposta : S = f
2 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação
3x + 4y - 5z + 2t = 10.
Resposta : -17

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.
Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = b₃....................................................= ...
....................................................= ...
a_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + ... + a_nnx_n = b_n
onde os coeficientes a₁₁, a₁₂, ..., a_nn são números reais ou complexos, os termos independentes
b₁, b₂, ... , b_n , são números reais ou complexos e x₁, x₂, ... , x_n são as incógnitas do sistema nxn.
Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Seja D x_i o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita
x_i ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b₁, b₂, ... , b_n.

A regra de Cramer diz que:Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D x_i, ou seja:x_i = D x_i / D
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6
Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.
Teremos:




Portanto, pela regra de Cramer, teremos:
x₁ = D x₁ / D = 120 / 24 = 5
x₂ = D x₂ / D = 48 / 24 = 2
x₃ = D x₃ / D = 96 / 24 = 4
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.
Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. É conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.
Agora, resolva este:2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y - 10z = - 39
x + y + z = 5
Resposta: S = { (-1, 2, 4) }

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento
Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.
O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:
T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.
Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x - 2y = 6
5x - 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.
T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.
Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
x - 2y + 3z = 1
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
3x - 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.
T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.
Exemplo: os sistemas
15x - 3y = 22
5x + 2y = 32
15x - 3y = 22...... - 9y = - 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).
Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.
Seja o sistema de equações lineares:. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1
2x . - .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y - 5z = 6 .Equação 3
SOLUÇÃO:
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-...y + z = 12
x ..+ 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6
2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:
2x - ..y + z = 12.....- 7y + 5z = 6
4x + 3y - 5z = 6
3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x - ..y + ..z = ...12.....- 7y + 5z = ....6........5y - 7z = - 18
4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -.....y + ....z =....12.....- 35y +25z =... 30.......35y - 49z = -126
5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:
2x - .....y + ....z = ..12.....- 35y + 25z = ..30...............- 24z = - 96
6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: - 35y + 25(4) = 30 \ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x - 2 + 4 = 12 \ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }
Verificação:
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) - 2(4) = 3
2(5) - (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.
Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma
ax + by + cz = k₁dy + ez = k₂fz = k₃de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k₃ / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.
É importante ressaltar que se em z = k₃ / f , tivermos:
a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado.
b) f = 0 e k₃ ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f .
d) f = 0 e k₃ = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.
Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.
Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.
A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento:
Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) }4x - 2y = 2
2x + 3y = 21
Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) }2 a + 5b + .3c = ...20
5 a + 3b - 10c = - 39...a + ..b + ....c = .....5
Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) }..x + .y .- ..z = ...0..x - 2y + 5z = 21
4x + .y + 4z = 31