segunda-feira, 25 de abril de 2011

MATEMÁTICA REFORÇO AV1

Matemática A - Aula 1


Relações e Funções


Relações

Definimos relação como:
Dados dois conjuntos não vazios $S$ e $T$ chama-se relação $R$ de $S$ em $T$ qualquer subconjunto de $S x t$. Assim, $R$ está contido em $S x t$ ( $R \subset S x T$).

Exemplo



\begin{displaymath}R=\{(x,y)/x<y\}\end{displaymath}



\epsfig{file=ma/01/fig01.eps,width=150pt}

Notação

Podemos escrever uma relação de $A$ em $B$ das seguintes formas:
  • Nomeando os pares ordenados, por exemplo: $R=\{(0,1),(1,2),(2,3)\}$.
  • Através de uma sentença matemática, por exemplo:
    $R=\{(x,y) \in AxB /y=x+1\}$, sendo que
    $A=\{0,1,1,2,3\}$ e $B=\{1,3,4,9\}$.

Domínio e Imagem

Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados ($x, y$) de uma relação damos o nome de domínio e representamos por $D(R)$.
Os segundos elementos desses pares formam o conjunto imagem da relação: $Im(R)$. Assim, na relação $R=\{(-1,3),(0,4), (1,5)\}$, $D(R)=\{-1,0,1\}$ e $Im(R)=\{3,4,5\}$.

Representação

Podemos representar uma relação por um diagrama de setas ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos $A=\{-1,0,1,2\}$ e $B=\{1,0,1,4\}$ e a relação $R=\{(x,y) \in AxB/y = x^2\}$.

Funções

O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo o elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo conjunto, ocorre uma função. Observemos os pares de conjuntos abaixo.

Exemplos


  1. Dados $L=\{2,5,9,12\}$ e $A=\{4,25,81,144\}$ e a relação $R=\{(x,y) \in LxA/ y=x^2\}$.
    Figura 42.1: É função.
    \begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig02.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}
  2. Dados $A=\{10,12,15,16,13\}$ e $B=\{20,24,30,26\}$ e a relação $R=\{(x,y) \in AxB/ y = 2x\}$.
    Figura 42.2: Não é função.
    \begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig03.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}
  3. Dados $A=\{5,12,23\}$ e $B=\{7,14,25\}$ e a relação $R=\{(x,y) \in AxB / y=x+2\}$.
    Figura 42.3: É função.
    \begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig04.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}
  4. Dados $A=\{16,81\}$ e $B=\{-2,2,3\}$ e a relação $R=\{(x,y) \in AxB/ y^4 = x \}$
    Figura 42.4: Não é função.
    \begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig05.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}
Serão reconhecidas como função as relações que tiverem todos os elementos de $A$ associados a elementos de $B$, sendo que cada elemento de $A$ deve estar ligado somente a um único elemento de $B$.

Domínio, Imagem e Contradomínio

Tomemos os exemplos acima que representam funções (Ex01, Ex03):

\epsfig{file=ma/01/fig06.eps,width=150pt}

\epsfig{file=ma/01/fig07.eps,width=150pt}
Para ambos os exemplos, chamamos de domínio o conjunto $A$, indicado pela letra $D$:
Ex01: $D=\{2,5,9,12\}$; Ex03: $D=\{5,12,23\}$.
A imagem será o conjunto dos elementos $y$ que têm correspondência com $x$.
EX01: $I=\{4,25,81,144\}$;
Ex03: $D=\{7,14,25\}$.
O contradomínio será o conjunto B:
EX01: $CD=\{2,4,6\}$; Ex03: $CD=\{5,7,14,15,16,25,26\}$.

Tipos de Funções


Função Par

É a função em que qualquer que seja o valor de $x \in D$ ocorre $f(x)=f(-x)$.

Exemplos



\begin{displaymath}f(x) = x^2\end{displaymath}




\begin{displaymath}f(x) = \vert x\vert\end{displaymath}




\begin{displaymath}f(x) = \cos(x)\end{displaymath}



\epsfig{file=ma/01/fig08.eps,width=150pt}

Função Ímpar

É a função em que para todo valor de $x \in D$ ocorre $f(x)=-f(-x)$.

Exemplos



\begin{displaymath}f(x) = 2x\end{displaymath}




\begin{displaymath}f(x) = \sin(x)\end{displaymath}




\begin{displaymath}f(x) = x^3\end{displaymath}



\epsfig{file=ma/01/fig09.eps,width=150pt}

Função Crescente

Uma função $y=f(x)$ é crescente num conjunto $A$ se, somente se, para quaisquer $x_1$ e $x_2$ pertencentes ao conjunto $A$, com $x_1 < x_2$, tivermos $f(x) < f(x_2)$.

Exemplos



\begin{displaymath}f(x)=x+2\end{displaymath}




\begin{displaymath}f(x)=10^x\end{displaymath}




\begin{displaymath}f(x) = x^3\end{displaymath}



Figura 42.5: Esquema para compreender função crescente.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig10.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Função Decrescente

Uma função $y=f(x)$ é decrescente num conjunto $A$ se, somente se, para quaisquer $x_1$ e $x_2$ pertencentes ao conjunto $A$, com $x_1 < x_2$, tivermos $f(x_1)>f(x_2)$.

Exemplos



\begin{displaymath}f(x)=-x+2\end{displaymath}




\begin{displaymath}f(x)=10^{-x}\end{displaymath}




\begin{displaymath}f(f)=-2x\end{displaymath}



Figura 42.6: Esquema para compreender função decrescente.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig11.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Função Injetora

Uma função $y=f(x):A\rightarrow B$ é injetora, se somente se, num conjunto $A$, dois elementos distintos quaisquer do domínio de $f(x)$ possuem imagens distintas em $B$.

Exemplos


Figura 42.7: Função injetora
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig12.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Figura 42.8: Função não injetora
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig13.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Função Sobrejetora

Uma função $y=f(x):A\rightarrow B$ é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem é igual ao contradomínio: $Im(f)=B$

Exemplos


Figura 42.9: Função sobrejetora
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig14.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Figura 42.10: Função não sobrejetora
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig15.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Função Bijetora

Uma função $y=f(x):A\rightarrow B$ é bijetora, se somente se, é injetora e sobrejetora.

Figura 42.11: Função bijetora
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig16.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}
Na figura 42.11 temos que a função:
  • É injetora, pois quaisquer elementos distintos de $A$ possuem imagens distintas em $B$;
  • É sobrejetora, pois
    $Im=B=\{4,25,81,144\}$;
  • É bijetora porque é injetora e sobrejetora.

Função Inversa

Considere uma função $y$ de $L \rightarrow A$, sendo que $D=L$ e $Im=A$. A função inversa de $y$ será aquela função que fizer corretamente a relação de $A \rightarrow L$ onde $D=A$ e $Im=L$.
Ou seja, a função inversa ``transforma'' o que antes era domínio em imagem e imagem em domínio. Porém, isto só poderá ocorrer se $y$ for bijetora.
Então, podemos definir:
Dada função bijetora $y=f(x):A\rightarrow B$, chama-se função inversa de $f$ a função $f^{-1}: B \rightarrow A$ tal que $(a,b) \in \Leftrightarrow (b,a) \in f^{-1}$.

Exemplos

$y=f(x)=x^2$;
$D=\{2,5,9,12\}$
$Im=\{4,25,81,144\}$
A função inversa será:
$y=f(x)=\sqrt(x)$
$D=\{4,25,81,144\}$
$Im =\{2,5,9,12\}$

Figura 42.12: figs:1718
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig17.eps,width=150pt} \par {\i... ...\par {\it (b)}Fique atento ao sentido das setas! \par\end{center}\end{figure}

Função Composta

Dados os conjuntos $A=\{1,2\}$, $B=\{2,4\}$,
$C=\{4,16\}$, vamos considerar as funções:
$f: A \rightarrow B$ definida por $f(x)= 2x$;
$g: B \rightarrow C$ definida por $g(x)= x^2$.

Figura 42.13:$f=\{(1,2), (2,4)\};g=\{(2,4), (4,16)\}$
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=ma/01/fig19.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}
Observamos que:

  • A cada $x$ pertencente a $A$ associa-se um único $y$ pertencente a $B$ tal que $y=2x$;
  • A cada $y$ pertencente a $B$ associa-se um único $z$ pertencente a $C$ tal que $z= x^2$;
  • A cada $x$ pertencente a $A$ associa-se um único $z$ pertence $C$ tal que $z=y^2={(2x)}^2=4x^2$.
Então, podemos afirmar que vai existir uma função $h$ de $A$ em $C$ definida por $h(x)=4x^2$, que indicamos por $g o f$ ou $g(f(x))$ (lê-se: $g$ composta com $f$).
Logo: $h(x)= g o f = g(f(x))=\{(1,4),(2,16)\}$.

Função Definida por Partes

É aquela função que é definida por mais de uma relação.

Exemplo

$\left\{% \begin{array}{ll} x+1, & \hbox{se $x>2$;} \\ x^2, & \hbox{se -2 $\leq$ x $\leq$ 2;} \\ 2, & \hbox{se $x < -2$} \\ \end{array}% \right.$

Função Constante

Toda função $f: R \rightarrow R$, definida por $f(x)=C$, com $C$ pertencendo ao conjunto dos reais, é denominada função constante.

\epsfig{file=ma/01/fig20.eps,width=150pt}

Pense um Pouco!

A função $n:A \rightarrow R$, definida por $n(t)= 6t + t^2$, expressa o número de colônias de bactérias em uma placa, onde $n$ é o número de colônias, $t$ é tempo em horas e $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ tem seus elementos representando os instantes em que as colônias foram contadas. Com esses dados, determine:
a) O número de colônias para $t = 3h$;
b) O conjunto contradomínio;
c) O conjunto imagem $(Im(n))$.

Exercícios de Aplicação



1. (UFRGS) Se a função $f: {\mathbb{R}}^*$ em $\mathbb{R}$ é tal que $f(x) = \frac{2x+2}{x}$, então $f(2x)$ é:
a) $2$
b) $2x$
c) $\frac{2x+1}{x}$
d) $\frac{4x+1}{x}$


2. (Fuvest-SP) As funções $f$ e $g$ são dadas por $f(x)= 3/5x -1$ e $g(x)= 4/3x + a$. Sabe-se que $f(0) - g(0) = 1/3$. O valor de $f(3)$ e $g(1/5)$ é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4


3. (FCC-SP) A função inversa da função $\frac{2x-1}{x+3}$ é:
a) $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2x-1}$
b) $f^{-1}(x)=\frac{3x-1}{x-2}$
c) $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}$
d) $f^{-1}(x)=\frac{1-2x}{3-x}$

Exercícios Complementares



4. (UFSC) Dada a função $f:\mathbb{R}$ em ${\mathbb{R}}_+$, definida por $f(x)= x^2 + 1$, determine a soma dos números associados às afirmações verdadeiras.
01. A função é sobrejetora.
02. A imagem da função é ${\mathbb{R}}_+$.
04. A função é bijetora.
08. Para $x=\sqrt{5}$, temos $f(x)=6$.
16. O gráfico de uma função é uma reta.
32. A função é par.


5. (UA) Se $f$ e $g$ são funções tais que $f(x)= 2x - 3$ e $f (g(x))= x$, então é igual a:
a) $(x +3)/2$
b) $3x + 2$
c) $1/(2x - 3)$
d) $2x + 3$


6. (UDESC) Seja $f(x)=c -ax^2$. Se $f(-1)=1$ e $f(2)=2$, então $f(5)$ é igual a:
a) 3
b) 11/3
c) 7/3
d) 9
e) -3
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