Uma matriz inversível

Uma matriz inversível

FUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2x2 inversível que satisfaz 2A = A², então o determinante de A será:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

SOLUÇÃO:

Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero.
Se 2 A = A², então os seus determinantes são iguais, ou seja: det(2 A) = det(A²)

Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.A) onde k é um número inteiro positivo, será igual a kⁿ . det(A). Para revisar, clique AQUI.

Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem:
det(2 A) = 2².det(A)

Sabemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B).

Então, det(A²) = det(A . A) = det(A).det(A)

Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A²), as expressões obtidas anteriormente, vem:
2².det(A) = det(A).det(A)
4.det(A) – [det(A)]² = 0

Colocando det(A) em evidencia, fica:
det(A).[4 – det(A)] = 0

Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não nulo e, portanto, a solução det(A) = 0 não serve. Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E.